Un problema...

[barrikada]

Un número curioso
Con motivo de la Lotería de Navidad, EL PAÍS y la RSME presentan un 'desafío extraordinario'
Entre los acertantes se sorteará una biblioteca matemática y un libro con desafíos anteriores

Los desafíos matemáticos vuelven a esta casa por Navidad. Como ya sucedió el año pasado, con motivo del sorteo de la Lotería de Navidad ofrecemos un nuevo problema. El encargado de presentar el Desafío Extraordinario de Navidad de 2013 es Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Entre los acertantes se sorteará una biblioteca matemática como la que ofreció EL PAÍS en el quiosco durante 2011. El ganador recibirá, además, el libro 'Desafíos Matemáticos' por cortesía de la Real Sociedad Matemática Española, una publicación de SM en la que se recogen los 40 desafíos matemáticos que ofrecimos en la web y con los que EL PAÍS y la RSME celebraron el centenario de esta institución hace dos años. Manda tu respuesta antes de las 00.00 horas del domingo 22 de diciembre (la medianoche del sábado al domingo, hora peninsular española) a problemamatematicas@gmail.com y participa en el sorteo.

A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos el enunciado del problema por escrito:

El equipo que preparamos los desafíos matemáticos hemos decidido abonarnos durante todo el año a un número de la Lotería. Para elegir ese número, que debe estar comprendido entre el 0 y el 99.999, pusimos como condición que tuviese las cinco cifras distintas y que, además, cumpliese alguna otra propiedad interesante. Finalmente hemos conseguido un número que tiene la siguiente propiedad: si numeramos los meses del año del 1 al 12, en cualquier mes del año ocurre que al restar a nuestro número de lotería el número del mes anterior, el resultado es divisible por el número del mes en el que estemos. Y esto sucede para cada uno de los meses del año.

Es decir, si llamamos L a nuestro número, tenemos por ejemplo que en marzo L-2 es divisible entre 3 y en diciembre L-11 es divisible entre 12.

El reto que os planteamos es que nos digáis a qué número de Lotería estamos abonados y que nos expliquéis cómo lo habéis encontrado.

OBSERVACIONES IMPORTANTES. Insistimos en que es importante que hagáis llegar junto con el número el razonamiento de cómo lo habéis hallado. No se considerarán válidas las respuestas que den sólo el número o que lo hayan encontrado probando todos uno a uno (a mano o con un ordenador).

Sacado de:
http://sociedad.elpais.com/sociedad/201 ... 61334.html

[̶n̶]

BUeno, ya he programado con Matlab como sacar el número,

Ahora a pensar la explicación

[_Mikel_]

Al final me tiraré con esta tontería dos días ya verás...

De momento digo que el número solo puede terminar en 19, 39, 59 o 79... el porqué que cada uno lo piense

[̶n̶]

He sacado ya el número y vas bien, si quieres te digo cual es la terminación

[_Mikel_]

Llegar a eso no es complicado, lo hice de cabeza y no se me dan bien las matemáticas

si eso dame el número entero y ya me busco la explicación xD

[̶n̶]

27719 según matlab

[̶n̶]

Por si alguien quiere el codigo

[spoiler]

Código: Seleccionar todo

flag=false;
for L=11:1:99999
    div=0;
    for i=1:12
        if rem((L-i+1),i)==0 
            div=div+1;
            end
        
        end
    if div==12
            flag=true;
            end
        
    if flag==true
        break;
        end
        
end
fprintf('%d',L);

[/spoiler]

[osksp]

Mmmmm pues siento decirte que no es correcto.

En el enunciado ponen como condición que las 5 cifras sean distintas.

Salud.

[̶n̶]

Ouch, me he saltado esa parte

En ese caso es el 83159

El 55439 también cumple.

[barrikada]

Efectivamente el 27719 es el primer número de 5 cifras que cumple las propiedades de divisibilidad, pero no es el primero que cumple que las cifras sean distintas...

Lo de que el número tenga que acabar en cifra impar - 9, está claro. Por la propiedad de 2|L-1 -> la última cifra ha de ser impar, por la propiedad de 5|L-4, L ha de acabar en 9 o 4. Uniendo las dos, solo puede acabar en 9.
Por otro lado, 8|L-7, da lugar a que L-7 sea de la forma 32, 72, 112...

De todas formas, para trincar el número entero hay que hacer un poco más de cuentas!

[_Mikel_]

Lo de que el número tenga que acabar en cifra impar - 9, está claro. Por la propiedad de 2|L-1 -> la última cifra ha de ser impar, por la propiedad de 5|L-4, L ha de acabar en 9 o 4. Uniendo las dos, solo puede acabar en 9

Mucho más fácil... L-9 divisible entre 10, con esto ya solo puede terminar en 9
Si le añades la de L-4 divisible entre 5 quedan los 4 que yo dije (más el 99, pero no cumple la de todos diferentes)

Con lo de 8|L-7 también probé yo pero no se puede descartar ninguna terminación de esas 4 porque hay múltiplos de 8 que la cumplen: 039 - 079 - 119 - 159
Lo único que se puede conseguir con el 8 es que si termina en 39 y 79 antes va un número par y si termina en 19 y 59 va un impar

[barrikada]

Sí, es mucho más fácil. De hecho puedes ver que 2|L-1 y 5|L-4 son condiciones necesarias y suficientes para 10|L-9, es decir que puedes eliminar 2|L-1 y 5|L-4 o 10|L-9.

De todas formas, o os ponéis en plan cuenta de la vieja:
9|L-8 -> existe k: L= 9k +8
7|L-6-> existe l: L= 7l +6
-> L+1=9(k+1)=7(l+1) -> L= 63q -1 = 62 + 63q'

y así sucesivamente hasta obtener una fórmula por recurrencia...

O jugáis con congruencias, que es el mismo juego, pero algo más elegante
9|L-8 -> existe k: L= 8 (mod 9)
7|L-6-> existe l: L= 6 (mod 7)
....

[dEjEnEraO___(A)]

tranquilos que luego vienen los "listillos" del foro y solucionan el problema


PD : aHH no que el corrector ortografico no vale para esto.



venga hasta luego

[PunKtualidaz]

tranquilos que luego vienen los "listillos" del foro y solucionan el problema


PD : aHH no que el corrector ortografico no vale para esto.



venga hasta luego

No hace falta el corrector ortográfico para escribir bien Algunos somos autosuficientes..

[dEjEnEraO___(A)]

claro claro



venga hasta luego

[̶n̶]

tranquilos que luego vienen los "listillos" del foro y solucionan el problema


PD : aHH no que el corrector ortografico no vale para esto.



venga hasta luego

ya lo hemos solucionado, de nada.